Disclaimer. La discussione sottoriportata non contiene nulla di nuovo e i risultati sono disponibili praticamente in qualsiasi testo o dispensa che tratti l’argomento. Lo scopo principale, in questo come in gran parte degli altri post, è semplicemente quello di chiarirmi le idee e stendere degli appunti abbastanza chiari (almeno per me) e coerenti, senza alcuna pretesa di correttezza. D’altra parte, nel caso troviate interessante e valido il contenuto, chiedo solo gentilmente che vengano citati la fonte e l’autore.

Introduzione

Nell’analisi di una sezione in calcestruzzo armato soggetta a flessione semplice (Fig. 1), sotto le usuali ipotesi da calcestruzzo armato – per es. conservazione delle sezioni piane – è spesso utile, per il calcolo del momento flettente M, semplificare la distribuzione delle tensioni di tipo parabola-rettangolo con una distribuzione rettangolare (stress-block) equivalente.

Per “equivalente” si intende che la seconda distribuzione (quella semplificata) produca la stessa forza risultante e lo stesso momento risultante della prima, ossia l’integrale delle tensioni nel calcestruzzo compresso e la posizione del baricentro rispetto all’asse neutro devono assumere in entrambi i casi i medesimi valori.

In altre parole, l’obiettivo è esprimere modulo |C| e posizione y_c della risultante delle tensioni di compressione sul calcestruzzo tramite una coppia di coefficienti η e ξ che moltiplicano rispettivamente l’area rettangolare compressa (y_na·b) soggetta alla tensione massima di calcolo (f_cd), e la profondità dell’asse neutro (y_na):

\displaystyle \begin{aligned} &C = \eta \cdot \left( y_{na} \cdot b \cdot f_{cd} \right) &&\text{forza di compressione} \\[3ex] &y_c = \xi \cdot y_{na} &&\text{profondità del centro di compressione} \\[3ex] \end{aligned}

In Figura 1 i simboli assumono il seguente significato (C = T, trattandosi di flessione semplice):

\begin{aligned} \small b &= \text{larghezza della sezione} \\[1ex] h &= \text{altezza della sezione} \\[1ex] d &= \text{altezza utile della sezione} \\[1ex] y_{na} &= \text{profondità dell'asse neutro} \\[1ex] \varepsilon_s &= \text{deformazione dell'acciaio teso} \\[1ex] \varepsilon_c &= \text{deformazione del calcestruzzo al lembo estremo compresso} \\[1ex] \sigma_c &= \text{tensione del calcestruzzo al lembo estremo compresso} \\[1ex] y_G &= \text{distanza del centro di compressione dall'asse neutro}\\[1ex] C &= \text{forza risultante di compressione nel calcestruzzo} \\[1ex] T &= \text{forza risultante di trazione nell'acciaio} \\[1ex] \end{aligned} \\[3ex]

Legame tensione-deformazione per il calcestruzzo

Per il calcestruzzo, la legge tensione–deformazione (σ–ε) assunta è di tipo parabola–rettangolo (p.es. indicata dall’Eurocodice 2 per classi di resistenza fino a C50/60), mostrata in Figura 2. Essa è costituita da un ramo di parabola ad asse verticale, con concavità rivolta verso il basso, passante per l’origine e con il vertice avente ascissa ε₁ e ordinata f_cd, che corrisponde alla resistenza a compressione di calcolo del calcestruzzo. Per valori di deformazione ε > ε₁ ed ε ≤ ε_u (deformazione massima), il valore di tensione è costante e pari a f_cd. Giusto come annotazione, i simboli per le due deformazioni chiave usati nell’Eurocodice 2 sono ε_c2 ed ε_cu2, rispettivamente.

L’espressione analitica del ramo di parabola si può ricavare agevolmente imponendo il passaggio per l’origine (0;0) e per il punto (ε₁; f_cd), e imponendo valore nullo per la derivata calcolata in ε₁:

\displaystyle \begin{aligned} &\sigma_p (\varepsilon) = -A\varepsilon^2 + B\varepsilon + C &\text{[assumendo A > 0]} \end{aligned} \\[3ex] \begin{aligned} &I) &&\sigma_p(0) = 0 \quad \Rightarrow \quad C = 0 \\[3ex] &II) &&\sigma_p(\varepsilon_1) = f_{cd} \quad \Rightarrow \quad -A\varepsilon_1^2 + B\varepsilon_1 = f_{cd} \\[3ex] &III) && \left. \frac{d\sigma(\varepsilon)}{d\varepsilon} \right|_{\varepsilon_1} = 0 \quad \Rightarrow \quad -2A\varepsilon_1 + B = 0 \end{aligned} \\[3ex] B = 2A\varepsilon_1 \quad \Rightarrow \quad \text{[based on II]} -A\varepsilon_1^2 + 2A\varepsilon_1^2 = f_{cd} \\[3ex] A = \frac{f_{cd}}{\varepsilon_1^2}; \quad B = 2\frac{f_{cd}}{\varepsilon_1} \\[3ex]

Mettendo tutto assieme, si ricava pertanto la seguente funzione che esprime il legame tensione–deformazione:

\color{royalblue} \\[3ex] \boxed{ \sigma(\varepsilon) = \begin{cases} \displaystyle -\frac{f_{cd}}{\varepsilon_1^2}\varepsilon^2 + 2\frac{f_{cd}}{\varepsilon_1}\varepsilon & 0 \leq \varepsilon \leq \varepsilon_1 \\ f_{cd} & \varepsilon_1 \lt \varepsilon \leq \varepsilon_u \\ \end{cases} } \\[3ex]

A)   Risultante delle tensioni di compressione C

La forza di compressione per unità di larghezza (C/b) si ricava integrando le tensioni nel calcestruzzo:

\displaystyle \frac{C}{b} = \int_{0}^{y_{na}} \sigma(y) dy \\[3ex]

La tensione è stata definita in funzione della deformazione ε, ma è necessario esprimerla in funzione della distanza y dall’asse neutro. Avendo ipotizzato una distribuzione lineare di deformazioni sulla sezione (ipotesi di conservazione delle sezioni piane), da una semplice proporzione si ricava:

\displaystyle \frac{\varepsilon}{y} = \frac{\varepsilon_c}{y_{na}} \quad \Rightarrow \quad \varepsilon = \left( \frac{\varepsilon_c}{y_{na}} \right) y \\[3ex]

A questo punto, il problema va separato in due casi distinti, a seconda che sia (1) ε_c ≤ ε₁ oppure (2) ε₁ < ε_c ≤ ε_u. Per semplicità, si pone:

\displaystyle \alpha = \frac{\varepsilon_c}{\varepsilon_1} \\[3ex]

(1)   Deformazione ε_c ≤ ε₁, ossia α ≤ 1

L’integrale da risolvere diventa:

\displaystyle \begin{aligned} \frac{C}{b} &= \int_{0}^{y_{na}} \left[ -\frac{f_{cd}}{\varepsilon_1^2} \left( \frac{\varepsilon_c}{y_{na}} \right)^2 y^2 + 2\frac{f_{cd}}{\varepsilon_1} \left( \frac{\varepsilon_c}{y_{na}} \right) y \right] dy = \\[3ex] &= \left[ -\frac{1}{3}\frac{f_{cd}}{\varepsilon_1^2} \left( \frac{\varepsilon_c}{y_{na}} \right)^2 y^3 + \frac{2}{2} \frac{f_{cd}}{\varepsilon_1} \frac{\varepsilon_c}{y_{na}} y^2 \right]_{y_{na}} = -\frac{1}{3}\frac{\varepsilon_c^2}{\varepsilon_1^2} f_{cd} y_{na} + \frac{\varepsilon_c}{\varepsilon_1} f_{cd} y_{na} = \\[3ex] &= f_{cd} y_{na} \left[ \alpha \left(1 - \frac{1}{3} \alpha \right) \right] \\[3ex] \end{aligned} \\ C_1 = \eta_1 \; y_{na} b \; f_{cd} \\[3ex] \boxed{ \eta_1 = \alpha \left(1 - \frac{1}{3} \alpha \right)} \\[3ex]

(2)   Deformazione ε₁ < ε_c ≤ ε_u, ossia 1 < α ≤ ε_u/ε₁

Si può agevolmente risolvere l’integrale separando il contributo della parte parabolica, da 0 a y₁, e quello della parte rettangolare, da y₁ a y_na. Si ottiene quindi:

\displaystyle \begin{aligned} \frac{C}{b} &= \int_{0}^{y_1} \sigma(y) dy + f_{cd} \left( y_{na} - y_1 \right) = \\[3ex] &= \frac{2}{3} f_{cd} y_1 + y_{na} f_{cd} - y_1 f_{cd} = \\[3ex] &= f_{cd} y_{na} - \frac{1}{3} f_{cd} y_1 \\[3ex] \end{aligned} \\

Ricordando la definizione di α, si ricava:

\displaystyle y_1 = \frac{y_{na}}{\alpha} \\[3ex] \frac{C}{b} = \left( 1- \frac{1}{3\alpha} \right) f_{cd} y_{na} = \left( \frac{3\alpha -1}{3\alpha} \right) y_{na} f_{cd} \\[3ex] C_2 = \eta_2 \; y_{na} b \; f_{cd} \\[3ex] \boxed{ \eta_2 = \frac{3\alpha -1}{3\alpha}} \\[3ex]

B)   Profondità del centro di compressione y_c

La posizione della forza di compressione C è generalmente espressa come distanza dal lembo estremo compresso. La distanza dall’asse neutro, per definizione, si ricava dal rapporto tra momento statico S della distribuzione delle tensioni e momento di ordine 0 (ossia l’area A della distribuzione):

\displaystyle y_G \cdot A_{tot} = S_{tot} \quad \Rightarrow \quad y_G = \frac{S_{tot}}{A_{tot}} \\[3ex] y_G = \frac{\int_{0}^{y_{na}} \sigma(y) \cdot y \; dy}{\int_{0}^{y_{na}} \sigma(y) \; dy} \\[3ex]

Si distinguono nuovamente due casi, il primo per ε_c ≤ ε₁, che corrisponde ad α ≤ 1, e il secondo per ε₁ < ε_c ≤ ε_u, ossia 1 < α ≤ ε_u/ε₁.

(1)   Deformazione ε_c ≤ ε₁, ossia α ≤ 1

I calcoli procedono come segue:

\begin{aligned} y_G &= \frac{\displaystyle \int_{0}^{y_{na}} \left[ -\frac{f_{cd}}{\varepsilon_1^2} \left( \frac{\varepsilon_c}{y_{na}} y \right)^2 + 2 \frac{f_{cd}}{\varepsilon_1} \left( \frac{\varepsilon_c}{y_{na}} y \right) \right] \cdot y \; dy}{\displaystyle \int_{0}^{y_{na}} \left[ -\frac{f_{cd}}{\varepsilon_1^2} \left( \frac{\varepsilon_c}{y_{na}} y \right)^2 + 2 \frac{f_{cd}}{\varepsilon_1} \left( \frac{\varepsilon_c}{y_{na}} y \right) \right] \; dy} = \\[6ex] &= \frac{\displaystyle \int_{0}^{y_{na}} \left[ -\frac{f_{cd}}{\varepsilon_1^2} \left( \frac{\varepsilon_c^2}{y_{na}^2} y^3 \right) + 2 \frac{f_{cd}}{\varepsilon_1} \left( \frac{\varepsilon_c}{y_{na}} y^2 \right) \right] \; dy}{\displaystyle \int_{0}^{y_{na}} \left[ -\frac{f_{cd}}{\varepsilon_1^2} \left( \frac{\varepsilon_c}{y_{na}} y \right)^2 + 2 \frac{f_{cd}}{\varepsilon_1} \left( \frac{\varepsilon_c}{y_{na}} y \right) \right] \; dy} = \\[6ex] &= \frac{\displaystyle \left[ -\frac{1}{4} \frac{f_{cd}}{\varepsilon_1^2} \left( \frac{\varepsilon_c^2}{y_{na}^2} y^4 \right) + \frac{2}{3} \frac{f_{cd}}{\varepsilon_1} \left( \frac{\varepsilon_c}{y_{na}} y^3 \right) \right]_0^{y_{na}}}{\displaystyle \left[ -\frac{1}{3} \frac{f_{cd}}{\varepsilon_1^2} \left( \frac{\varepsilon_c^2}{y_{na}^2} y^3 \right) + \frac{2}{2} \frac{f_{cd}}{\varepsilon_1} \left( \frac{\varepsilon_c}{y_{na}} y^2 \right) \right]_0^{y_{na}}} = \\[6ex] &= \frac{\displaystyle \left[ -\frac{1}{4} \frac{\cancel{f_{cd}}}{\varepsilon_1^2} \left( \frac{\varepsilon_c^2}{\cancel{y_{na}^2}} y_{na}^{\cancel{4} \; 2} \right) + \frac{2}{3} \frac{\cancel{f_{cd}}}{\varepsilon_1} \left( \frac{\varepsilon_c}{\cancel{y_{na}}} y_{na}^{\cancel{3} \; 2} \right) \right]}{\displaystyle \left[ -\frac{1}{3} \frac{\cancel{f_{cd}}}{\varepsilon_1^2} \left( \frac{\varepsilon_c^2}{\cancel{y_{na}^2}} y_{na}^{\cancel{3} \; 2} \right) + \cancel{\frac{2}{2}} \frac{\cancel{f_{cd}}}{\varepsilon_1} \left( \frac{\varepsilon_c}{\cancel{y_{na}}} y_{na}^{\cancel{2}} \right) \right]} = \\[3ex] &= \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{4}\alpha \right) \cancel{\alpha}}{\displaystyle \left( 1 - \frac{1}{3}\alpha \right) \cancel{\alpha}} y_{na} = \frac{8 - 3\alpha}{4 \left(3-\alpha \right)} y_{na} \\[6ex] \end{aligned}

Ricordando la definizione di α, si ottiene:

\displaystyle y_G = \frac{\left( \frac{2}{3} - \frac{1}{4}\alpha \right) \cancel{\alpha}}{\left( 1 - \frac{1}{3}\alpha \right) \cancel{\alpha}} y_{na} = \frac{8 - 3\alpha}{4 \left(3-\alpha \right)} y_{na} \\[3ex]

Poiché la profondità che cerchiamo è data dalla differenza tra y_na e la quantità ricavata sopra (y_G), che esprime la distanza del centro di pressione dall’asse neutro, si ottiene la seguente espressione:

\displaystyle \boxed{ \xi_1 = \frac{4-\alpha}{4 \left( 3-\alpha \right)}} \\[3ex]

(2)   Deformazione ε₁ < ε_c ≤ ε_u, ossia 1 < α ≤ ε_u/ε₁

Ricordando la proprietà additiva dei momenti statici, si ha che:

\begin{aligned} y_G &= \frac{S_{par} + S_{rec}}{A_{tot}} = \frac{\displaystyle A_{par} \cdot \left( 1 - \frac{3}{8} \right) y_1 + A_{rec} \cdot \frac{1}{2} \left( y_{na} + y_1 \right) }{\displaystyle A_{par} + A_{rec}} \\[3ex] &= \frac{\displaystyle \frac{2}{3} y_1 \cancel{f_{cd}} \left( \frac{5}{8} \right) y_1 + \left( y_{na} - y_1 \right) \cancel{f_{cd}} \frac{1}{2} \left( y_{na} + y_1 \right) }{\displaystyle \frac{2}{3} y_1 \cancel{f_{cd}} + \left( y_{na} - y_1 \right) \cancel{f_{cd}}} \\[3ex] &= \frac{\displaystyle \frac{1}{2} y_{na}^2 - \frac{1}{12} y_1^2}{\displaystyle y_{na} - \frac{1}{3} y_1} \\[3ex] &\text{poiché} \quad \frac{\varepsilon_c}{y_{na}} = \frac{\varepsilon_1}{y_1} \quad \Rightarrow \quad y_1 = \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_c} y_{na} = \frac{y_{na}}{\alpha} \\[3ex] y_G &= \frac{\displaystyle \frac{1}{2} y_{na}^{\cancel{2}} - \frac{1}{12} y_{na}^{\cancel{2}} \frac{1}{\alpha^2}}{\displaystyle \cancel{y_{na}} \; 1 - \frac{1}{3} \frac{\cancel{y_{na}} \; 1}{\alpha}} = \frac{\displaystyle \frac{1}{\cancel{12} \; 4 \alpha^{\cancel{2}}} \left( 6 \alpha^2 -1 \right)}{\displaystyle \frac{1}{\cancel{3\alpha}} \left( 3\alpha -1 \right) } y_{na} \\[3ex] &= \frac{6\alpha^2 -1}{4\alpha \left( 3\alpha - 1 \right)} y_{na} \\[3ex] \end{aligned}

Come prima, la profondità del centro di pressione è data dalla differenza tra la profondità dell’asse neutro y_na e la distanza del centro di pressione da esso, ossia y_G. Si ottiene quindi:

\displaystyle \boxed{ \xi_2 = \frac{6\alpha^2 - 4\alpha +1}{4\alpha \left( 3\alpha - 1 \right)}} \\[3ex]

Sintesi dei risultati ottenuti

Riassumendo, si ottengono le seguenti espressioni per valutare il coefficiente di riempimento η e il fattore di profondità del centro di pressione ξ in funzione di α, che rappresenta il rapporto tra le deformazioni ε_c ed ε₁:

Primo caso:   0 < α ≤ 1   (i.e.  0 < ε_c ≤ ε₁)

\displaystyle \\[3ex] \color{royalblue} \boxed{ \begin{aligned} \eta_1 &= \alpha \left(1 - \frac{1}{3} \alpha \right); &\xi_1 &= \frac{4-\alpha}{4 \left( 3-\alpha \right)} \end{aligned} } \\[3ex]

Secondo caso:   1 < α ≤ ε_u/ε₁   (i.e.  ε₁ < ε_c ≤ ε_u)

\displaystyle \\[3ex] \color{royalblue} \boxed{ \begin{aligned} \eta_2 &= \frac{3\alpha -1}{3\alpha}; &\xi_2 &= \frac{6\alpha^2 - 4\alpha +1}{4\alpha \left( 3\alpha - 1 \right)} \end{aligned} } \\[3ex]

I risultati prodotti dalle formule precedenti, qualora si assuma ε₁ = 2·10⁻³ ed ε_u = 3.5·10⁻³ (classi di resistenza fino a C50/60), sono tabulati in Tabella 1 e mostrati graficamente nella Figura 3. Come si può notare, la posizione del centro di pressione varia poco, da 0.333 (ossia 1/3) per \alpha \to 0, fino a 0.416. Al contrario, ovviamente, il coefficiente di riempimento varia da 0 a 0.816, in corrispondenza del valore massimo di deformazione. Per \alpha = 1 si ottengono risultati coerenti con quelli noti sulla parabola, ossia \eta = 0.667 (ovvero 2/3) e \xi = 0.375 (ovvero baricentro a 3/8 \text{ e }5/8 dagli estremi).

Si può trovare una rapida verifica tra risultati analitici e integrazione numerica nel file sottostante, elaborato con l’ottimo software freeware SMath Studio Desktop, che ho già usato in passato per scopi didattici.

Tabella 1 Valori assunti da η e ξ in funzione di α, qualora ε₁ = 2·10⁻³ ed ε_u = 3.5·10⁻³ (classi di resistenza fino a C50/60)

α = εc / ε1	εc	η	ξ
0.10	0.2·10⁻³	0.097	0.336
0.20	0.4·10⁻³	0.187	0.339
0.30	0.6·10⁻³	0.270	0.343
0.40	0.8·10⁻³	0.347	0.346
0.50	1.0·10⁻³	0.417	0.350
0.60	1.2·10⁻³	0.480	0.354
0.70	1.4·10⁻³	0.537	0.359
0.80	1.6·10⁻³	0.587	0.364
0.90	1.8·10⁻³	0.630	0.369
1.00	2.0·10⁻³	0.667	0.375
1.10	2.2·10⁻³	0.697	0.381
1.20	2.4·10⁻³	0.722	0.388
1.30	2.6·10⁻³	0.744	0.394
1.40	2.8·10⁻³	0.762	0.400
1.50	3.0·10⁻³	0.778	0.405
1.60	3.2·10⁻³	0.792	0.410
1.70	3.4·10⁻³	0.804	0.414
1.75	3.5·10⁻³	0.810	0.416

Riconoscimenti: le immagini sono state create ed elaborate con Inkscape e IrfanView. Il grafico in Figura 3 è stato ottenuto con LibreOffice Calc. Le elaborazioni nel file allegato sono state create con SMath Studio Desktop. Infine, le formule sono state inserite mediante il plugin \KaTeX for WordPress (link).